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之前的一篇著述“讲明注解黎曼揣测的新几何，把数学之好意思展现得大书特书，配置数学之梦”提到，黎曼ζ函数是L函数的最毛糙示例：
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那么，L函数是什么呢？数学的中枢中有一个相等长远的主题，叫作念对偶性（duality）。在线性代数中，有向量和它们的对偶对象，叫作念泛函（functional）。在量子力学中，有bra和ket。在群论中，有共轭类（conjugacy classe）和不成约暗示（irreducible representation）。在数论中，有素数和L函数。
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底下是一个相等非表情化的解释：L函数是与素数对偶的对象。咱们将会获取一个更精准的对于L函数的界说，看两个毛糙的例子。
L函数的两个例子
黎曼ζ函数不错被写为：
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这里，分子王人是1。一般的L函数不错被写为：
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菠菜十大平台网其中这些分子是一些数的序列：
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这些数在这个序列中被称为L函数的狄利克雷系数（Dirichlet coefficients）。
这是一个L函数的例子：
1,1,0,1,2,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,2,1,0,2,0,0,0,0,3,2,0,...
这瑕瑜常相等非凡，险些是神奇的序列之一，恰巧是一个L函数大致是一个L函数的系数。你能看出这个序列中的轨则吗？能权衡出下一个数字大致接下来的10个数字吗？
底下是一个更复杂的L函数的例子：
1,-1,-2,1,0,2,1,-1,1,0,0,-2,-4,-1,0,1,6,-1,2,0,-2，0,0,2,-5,4,…
这里的轨则是什么？
上头两个序列是Motivic L函数的例子，这是从多项式方程构造的L函数。第一个例子是从方程x平常加1等于0构造的L函数。咱们用字母K标记这个方程。
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第二个例子是从以下方程构造的L函数，咱们用字母E标记这个方程。
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当我说“从……构造”，是指一种机器，它以一个方程作为输入，生成一个序列作为输出。
淌若你想先把这个机器当作一个黑盒子来对待，不错借助Sage软件。对于第一个方程，只需要键入这一滑代码：
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这里的变量是x。这个特定的方程界说了所谓的数域（NumberField），咱们条款这个数域的前20个L函数系数。
对于第二个方程，你不错输入这个代码：
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在这里咱们看不到骨子的方程，而是简写成"14. a5"。这个方程界说了一个叫作念椭圆弧线（elliptic curve）的东西，然后求前20个系数。
这篇著述的主要指标是研究这两个L函数，解释这些序列怎样从方程中出现，找到其中的基础模式（轨则）。这些模式将是数学家所称的朗兰兹策画（langlands program）的实例。
LMFDB
在咱们深入这两个序列的具体情况之前，我想先给你们看一下LMFDB，即L函数和模子表情数据库（L-functions and modular forms database）。
在LMFDB中，你会找到L函数以及产生L函数的对象。
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uG环球轮盘你不错看到椭圆弧线，数域。在名东谈主堂里，有黎曼zeta函数，拉马努金delta函数等等。当今，点击网页左上角的“Universe” ，你会看到：
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在这里，咱们看到了这个闻明的图片，展示了朗兰兹策画中不同数学寰宇之间的说合。最上头是L函数。L函数不错被视为寂寞的实体，但咱们频繁合计L函数是由某个其他对象构造的。而这些其他对象，我可爱称之为原始对象。在这张图片中，咱们不错看到三大类的原始对象。Motivic world在右边，Automorphic world在左边，伽罗瓦暗示不才面。是以每个原始对象王人会产生我方的L函数。
在数学中，Motive是一种概括对象，用于妥洽和相识代数几何中多样不同的同态类。它们被合计是数学中的粒子”，是一种用于研究和相识更复杂数学结构的器具。Motive的办法来自于亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的一些主义，这些主义指标是为了处分一些基础问题，包括一些来自数论和代数几何的问题
当今，还是有两个Motive了，因为任何多项式方程王人不错被视为一个Motive。是以K是一个Motive，E亦然一个Motive。
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Motivic K有它的L函数“L下标K” ，
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对于E亦然访佛的，
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这即是咱们刚刚看到的那两个数字序列。当今，被称为“朗兰兹互换（langlands reciprocity）”的揣测说，当有一个Motivic L函数，也即是从右边（Motivic world）过来的L函数，不错从左边（Automorphic world）找到一个Automorphic对象，能给出通常的L函数。
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淌若有一个Motivic L函数，而且你得胜地讲明注解了一个对应的Automorphic对象存在，那么L函数就具有所谓的领略延拓和函数方程。这反过来意味着，不错商酌特定的L函数的黎曼假定。到现时摈弃有以下的主要不雅点：
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这里存在着质数和L函数之间的对偶性，不错这么相识：每个L函数不错被视为某个希尔伯特空间中的一个向量。然后，每个质数不错被视为对偶希尔伯特空间中的一个向量。
zh皇冠信用盘代理注册存在一种机器，它以多项式方程作为输入，产生L函数作为输出。
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回到这两个例子，K和E，以及它们的L函数。
K的心事性
让咱们看一下等一个L函数。这个L函数的序列是：
1,1,0,1,2,0,0,1，……
让咱们把这些数字放入一个表格，
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第一个2是在a_5这里。在a_25这里有一个3。开动的项是1,1,0,1,2。我想给出一个怎样从等式x^2+1=0构造这个序列的简化解释。咱们知谈，x^2+1=0用于从实数过渡到复数。咱们要作念的是从实数脱手，引入一个新的数字，称之为i，其性质是i^2+1=0。使用加法和乘法这两个运算，不错生成更多的数字，扫数这些数字加在一谈，称之为R与i的并集，大致用一个非凡的符号C暗示，即是复数。
当今，咱们不错再作念一次通常的事情，但此次从整数脱手，而不是实数。是以，像曩昔一样引入新的数字i，磋商扫数不错通过乘法和加法产生的数字。这些数字的聚积被写稿Z与i的并集，
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莫得非凡的符号暗示它们，它们被称为高斯整数（Gaussian integers）。复数不错被视为一个二维平面。然后高斯整数即是具有整数系数的点的子集。举例3+2i或2-i，是以扫数网格的交点王人是高斯整数。
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界说：一个高斯整数a加bi的范数（Norm）即是a平常加b平常。举例，3+2i的范数是
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当今让咱们计较几个小的高斯整数的范数。0的范数是0，1的范数是1，i的范数亦然1。1+i的范数是2，2的范数是4，2+i的范数是5。就这么络续下去。
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当今让咱们数一数，有若干点的范数是1，总共有四个点，
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但是有一个轨则，那即是当一个点不错通过90度旋转形成另一个点时，他们就被合计是团结个点。是以这四个点，它们只作为一个，这个轨则来自于乘以i等同于旋转90度的事实。
是以，范数为1的点有一个。范数为2的也唯唯独个点。范数为3的点则莫得。范数为4的点在图片上有两个，但它们被作为团结个。范数为5的点有两个。范数为6和7的点王人莫得，当今你可能还是认出了这个序列：1101200。
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让咱们看下25，它有三个点，
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这在一定进度上解释了方程x^2+1=0怎样产生序列1101200……，这即是K的L函数。
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是以咱们还是从方程过渡到了L函数。当今有两个主要的挑战。
率先，还谢却易看出如安在演叨际计较高斯整数的情况下计较序列的下一项或接下来的10项。有莫得递归或某种轨则不错凭证前边的项生成下一个项呢？
第二，咱们以某种模式从方程x^2+1=0获取了L函数。有莫得一种次第不错径直获取L函数，而不使用方程呢？
望望这个：
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我所作念的是将这个序列写在顶部，然后除名一个关节。这个关节是一个轮回，先减去，然后复制着力。
取第一个顶部元素1，减去底下写的扫数内容，底下莫得东西，是以1减去莫得东西即是1，然后将1的副分内散在第一滑：
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在第二列，取顶部元素1，减去底下扫数内容。1-1即是0，然后将0的副分内散在第2行，以2为间距。
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第三列，取顶部元素0，减去底下扫数内容。0-1=-1，然后将-1的副分内散在第3行，以3为间距，以此类推。
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第四列，有1-1-0=0，
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第五列，获取的是2-1，也即是1。
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然后0减这些数字，即是0，以此类推。
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让咱们络续：
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你看到轨则了吗？望望对角线：
1、0、-1、0、
1、0、-1、0、
1、0、-1、0。
这即是轨则。咱们当今不错用这个毛糙的周期性对角线重构L函数，只需按相背的标的操作。是以我率先填写对角线，然后像之前一样在行平分填写副本，减法的反操作是加法，是以我只需要将每一列朝上乞降就不错获取顶部的元素。1的和是1，1和0的和是1，1加-1是0，1加0加0是1，1加1是2，以此类推。
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w88优德体育平台这么，咱们根柢莫得使用方程K，咱们用一个更毛糙的对象，即对角线，重构了L函数。
当今这个对角线骨子上是一个automorphic L函数。它是当然界中最毛糙的自守L函数之一，咱们使用这个automorphic对象，以某种料想上与黎曼zeta函数一谈，重构了原始的Motivic L函数，其中系数是1、1、1、1、1、1、1、1、1、1。
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E的心事之处
朗兰兹策画。咱们需要再给出一个例子。回顾一下从方程E得出的序列。方程是：
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L函数是：
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这台机器罗致一个方程，给出一个序列，这在前边的例子中使用高斯整数的计数形容。在这个例子中，我将用不同的讲话形容通常的机器。
当今咱们将对不同的质数p进行模p解方程的计数。
对于任何正整数m，每当有一个带有整数系数的多项式方程时，就不错计较模m的解的数目，咱们从模2脱手。
在这个例子中，先对方程的双方进行因式判辨会更快。
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模2意味着x和y只然而0和1。扫数的计较王人是在模2下完成的，是以举例1+1=0。
右边老是零，因为x大致x加1王人是0。
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因此左边也必须是零，那么可能是当y为0时，然后x不错是任何值，0或1。
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大致，淌若y是1，那么括号里的值必须为零，这唯独在x为0时才会发生。
总的来说，模2下有三个解：
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当y为0时，x不错是任何值，当y为1时，x为0。而解的数目，3，恰是咱们想要找的。
当今让咱们计较模3下的解的数目。
x和y将是0，1或2。
扫数的计较王人是在模3下完成的。右边是三个说合整数的乘积，其中一个会是0。因此通盘乘积王人是0，是以左边也必须是0。当今，要么y是0，x不错是任何值，要么y是1，那么括号里的必须为0，这意味着x是1。临了，y不错是2，那么x必须是0。
总的来说，有五个不同的解稳健模3的方程。
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下一个质数是5，解的计数访佛，仅仅更多的分类职责。模5下会有5个解。
皇冠体育平台可靠吗把这些情况作念成一个大的表格：
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第一滑是n：1、2、3、4、5、6、7、8、9等等。第二行是质数p：2、3、5、7、11、13。在这些质数底下是解的数目。模2有3个解。模3有3个解等等。
咱们的指标是从这些解的数目中构造出L函数，将这个经由分为三步。率先对于质数，只需用质数自己减去解的数目。2减3等于-1，3减5等于-2，5减5等于0等等。临了一个是13减17，等于-4。
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对于任何方程，可能会有某些质数不同。咱们称它们为坏质数，对于这个方程E，不错计较出，坏质数是2和7。我在这里莫得展示计较经由。
第二步，对于质数的幂。对于2的幂（1、2、4、8），2是一个坏质数，对于坏质数的轨则是，质数的幂对应的值应该是一个几何序列，从1脱手。是以有1、-1，然后再有1，然后-1，这会在2的扫数幂之间轮换出现1和-1。
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对于3的幂，3是一个好的质数，轨则略微复杂一些，但是有一个递归公式不错求出3的幂对应的值，这在本例中为取-2（3对应的值）的平常，也即是4，然后减去质数3。这获取了9的值为1。
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第三步，对于剩下的n的值，通过乘法性来计较。举例，对于数字6，6是2乘以3，是以为了计较我需要的数字，需要取-1（2对应的数字）乘以-2（3对应的数字），获取了2。对于10，10是2乘以5，需要取-1乘以0，获取的是0。临了，淌若我将12判辨为质数的乘幂，获取的是4乘以3，是以需要取-2乘以1，获取了-2。
最终的着力是：
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当今，咱们还是从不同质数模下的解计数中构造出了L函数。这个经由险些适用于任何方程。率先是质数，然后是质数的幂，然后是扫数其他的数字。
但是仍然面对着和前边的例子中一样的两个主要挑战。率先，有莫得一种轨则，不错计较出序列中的下一个元素，其次，有莫得一种次第不错径直获取L函数，而不需要使用方程？
这里需要借助一些“硬币”来解释接下来的问题。
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红色硬币的面额是1、2、3、4、5、6、7……
蓝色硬币的面额是2、4、6、8、10、12……
黄色硬币的面额是7、14、21、28……
绿色硬币的面额是14的倍数。
轨则是每种类型的硬币王人有无尽多。
假定我要给你1块。有若干种模式？唯唯独种模式，给你一枚红色的一块钱硬币。
假定我要给你2块。有若干种模式？
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不错给你两个红色1块钱，大致一个红色的2块钱，大致一个蓝色的2块钱，一共有3种不同的模式。
那3块钱呢？
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有4种不同的模式。
将扫数这些组合情况放入一个表格中。
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从0块钱脱手，唯唯独种模式，那即是不给你任何硬币。2块钱3种模式，3块钱4种模式，然后是9、12、23、32、55、76、122等等（这是一个斐波那契数）。
底下是一个频繁的乘法表：
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也许你会说这很败兴，但是望望对角线之和：
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他们是1、4、10、20……。让咱们用两个轨则来构造一个新的、更令东谈主精辟的乘法表。
率先，一边是这些硬币组整个数，1、1、3、4、9、12、23。第二个轨则，对角线之和应该是序列：1、0、0、0、0、0、0、0……
第一个对角线之和应该是1，是以我这里需要一个1。这意味着我必须把1放在顶部，因为1乘以1是1。然后是1乘以3是3，1乘以4是4，等等：
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传言最近影视圈中流传一则八卦，据说某知名演员博彩平台连续输掉赌资，最终不得不借钱度日。再次提醒人们博彩游戏中要保持理性节制。当今第二个对角线之和应该是0。
这意味着第一滑第二列是-1，然后顶部应该是-1。这么不错填写出第二列：
据悉，该航线由首都航空执飞，计划12月23日起每周执飞两班，班期为周二、周六。
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最终的着力是：
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咱们还是使用硬币构建了L函数，而且再次，这个经由的引东谈主注重的地点在于，咱们构建了E的L函数，却透澈莫得使用方程。
皇冠a盘b盘c盘的区别当今，你可能会说，对于更大的n，比如20块钱，组合的数目逾越3000个，这种硬币计数变得相等耗时。
但是，咱们不错用生成序列的讲话来从头形容这个硬币问题，有了这个器具，就很容易计较很大的数。这个L函数的生成序列是：
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回顾一下，咱们不错从方程E中得出L函数，也不错通过透澈不同的次第构建它。
骨子上，这个生成序列是一个automorphic 对象。更准确地说，它是一个模表情（modular form），它给你的L函数与方程调换，而方程是一个椭圆弧线（elliptic curve）的例子。
对于朗兰兹策画
我想谈谈更大的图景。
今天的朗兰兹策画，包括了令东谈主头昏脑胀的好多不同的分支，但原始的主要分支，径直与L函数关联，不错被称为全局数域（Global number fields），而这个主要分支包括两个主题。
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一个主题是函子性（Functoriality）；另一个主题是互惠性（Reciprocity）。互惠抒发的主义是，任何motivic对象王人有一个相应的automorphic 对象，具有调换的L函数。对应关系的两侧的对象王人有一个维度，或然被称为秩。朗兰兹的互惠是对于任何维度的对象的声明，1、2、3、4、5等等。椭圆弧线和模子表情之间的对应关系，因为费马大定理而特出出名，是二维朗兰兹互惠的一部分。这即是咱们想通过第二个例子，称为E，来抒发的。
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在一维，朗兰兹互惠包括了被称为阿廷互惠（Artin reciprocity）的东西，阿廷互惠的最毛糙情况是二次互惠，高斯发现的。他称之为黄金定理。咱们今天的第一个例子，K，是二次互惠定律的一个非凡的案例，是以在某种料想上，它是一维朗兰兹互惠的最毛糙的案例。
淌若你想读一些对于朗兰兹策画相等易于相识的东西，我会保举Edward Frenkel写的这本《Love and Math》澳门巴黎人体育，它是令东谈主难以置信的灿艳。
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